Algèbre linéaire Exemples

$z^{4} - 50 x^{2} + 49 = 0$

Étape 1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $z$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1

Ajoutez $50 x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$z^{4} + 49 = 50 x^{2}$

Étape 1.2

Soustrayez $49$ des deux côtés de l’équation.

$z^{4} = 50 x^{2} - 49$

Étape 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt[4]{50 x^{2} - 49}$

Étape 3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$z = \sqrt[4]{50 x^{2} - 49}$

Étape 3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$z = - \sqrt[4]{50 x^{2} - 49}$

Étape 3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$z = \sqrt[4]{50 x^{2} - 49}$

$z = - \sqrt[4]{50 x^{2} - 49}$

$z = \sqrt[4]{50 x^{2} - 49}$

$z = - \sqrt[4]{50 x^{2} - 49}$

Étape 4

Définissez le radicande dans $\sqrt[4]{50 x^{2} - 49}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$50 x^{2} - 49 \geq 0$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Ajoutez $49$ aux deux côtés de l’inégalité.

$50 x^{2} \geq 49$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $50 x^{2} \geq 49$ par $50$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $50 x^{2} \geq 49$ par $50$ .

$\frac{50 x^{2}}{50} \geq \frac{49}{50}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $50$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{50 x^{2}}{50} \geq \frac{49}{50}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} \geq \frac{49}{50}$

Étape 5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{\frac{49}{50}}$

Étape 5.4

Simplifiez l’équation.

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Étape 5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \geq \sqrt{\frac{49}{50}}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez $\sqrt{\frac{49}{50}}$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{49}{50}}$ comme $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{50}}$ .

$| x | \geq \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{50}}$

Étape 5.4.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.2.1.2.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$| x | \geq \frac{\sqrt{7^{2}}}{\sqrt{50}}$

Étape 5.4.2.1.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \geq \frac{| 7 |}{\sqrt{50}}$

Étape 5.4.2.1.2.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $7$ est $7$ .

$| x | \geq \frac{7}{\sqrt{50}}$

Étape 5.4.2.1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.4.2.1.3.1

Réécrivez $50$ comme $5^{2} \cdot 2$ .

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Étape 5.4.2.1.3.1.1

Factorisez $25$ à partir de $50$ .

$| x | \geq \frac{7}{\sqrt{25 (2)}}$

Étape 5.4.2.1.3.1.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$| x | \geq \frac{7}{\sqrt{5^{2} \cdot 2}}$

Étape 5.4.2.1.3.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | \geq \frac{7}{| 5 | \sqrt{2}}$

Étape 5.4.2.1.3.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $5$ est $5$ .

$| x | \geq \frac{7}{5 \sqrt{2}}$

Étape 5.4.2.1.4

Multipliez $\frac{7}{5 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| x | \geq \frac{7}{5 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 5.4.2.1.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.4.2.1.5.1

Multipliez $\frac{7}{5 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| x | \geq \frac{7 \sqrt{2}}{5 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 5.4.2.1.5.2

Déplacez $\sqrt{2}$ .

$| x | \geq \frac{7 \sqrt{2}}{5 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Étape 5.4.2.1.5.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$| x | \geq \frac{7 \sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Étape 5.4.2.1.5.4

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$| x | \geq \frac{7 \sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Étape 5.4.2.1.5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$| x | \geq \frac{7 \sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 5.4.2.1.5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$| x | \geq \frac{7 \sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 5.4.2.1.5.7

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 5.4.2.1.5.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$| x | \geq \frac{7 \sqrt{2}}{5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 5.4.2.1.5.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| x | \geq \frac{7 \sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 5.4.2.1.5.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$| x | \geq \frac{7 \sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.4.2.1.5.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.2.1.5.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$| x | \geq \frac{7 \sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 5.4.2.1.5.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$| x | \geq \frac{7 \sqrt{2}}{5 \cdot 2^{1}}$

Étape 5.4.2.1.5.7.5

Évaluez l’exposant.

$| x | \geq \frac{7 \sqrt{2}}{5 \cdot 2}$

Étape 5.4.2.1.6

Multipliez $5$ par $2$ .

$| x | \geq \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

Étape 5.5

Écrivez $| x | \geq \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 5.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 5.5.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x \geq \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

Étape 5.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 5.5.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \geq \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

Étape 5.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \geq \frac{7 \sqrt{2}}{10} & x \geq 0 \\ - x \geq \frac{7 \sqrt{2}}{10} & x < 0 \end{cases}$

Étape 5.6

Déterminez l’intersection de $x \geq \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ et $x \geq 0$ .

$x \geq \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

Étape 5.7

Divisez chaque terme dans $- x \geq \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.7.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{\frac{7 \sqrt{2}}{10}}{- 1}$

Étape 5.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.7.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{\frac{7 \sqrt{2}}{10}}{- 1}$

Étape 5.7.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{\frac{7 \sqrt{2}}{10}}{- 1}$

Étape 5.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.7.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{7 \sqrt{2}}{10}}{- 1}$ .

$x \leq - 1 \cdot \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

Étape 5.7.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ comme $- \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ .

$x \leq - \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

Étape 5.8

Déterminez l’union des solutions.

$x \leq - \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ ou $x \geq \frac{7 \sqrt{2}}{10}$

Étape 6

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \frac{7 \sqrt{2}}{10}] \cup [\frac{7 \sqrt{2}}{10}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq - \frac{7 \sqrt{2}}{10}, x \geq \frac{7 \sqrt{2}}{10}}$

Étape 7